Thomas.will: Die Seite wurde neu angelegt: „= Asymmetrische Verschlüsselung (Mini-RSA) – anschaulich erklärt = == Idee == Bei RSA-ähnlichen Verfahren gibt es: * einen '''öffentlichen Schlüssel'''…“

2025-09-09T15:50:32Z

Die Seite wurde neu angelegt: „= Asymmetrische Verschlüsselung (Mini-RSA) – anschaulich erklärt = == Idee == Bei RSA-ähnlichen Verfahren gibt es: * einen '''öffentlichen Schlüssel'''…“

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= Asymmetrische Verschlüsselung (Mini-RSA) – anschaulich erklärt =

== Idee ==
Bei RSA-ähnlichen Verfahren gibt es:
* einen '''öffentlichen Schlüssel''' ( <math>oS_1, oS_2</math> ) – den darf jeder kennen,
* einen '''privaten Schlüssel''' <math>pS</math> – den kennt nur der Empfänger.

Die Kernoperation ist Potenzieren ''modulo'' einer Zahl:
* '''Verschlüsseln/Signieren''' (hier dein Beispiel): <math>vN = N^{pS} \bmod oS_1</math>
* '''Entschlüsseln/Prüfen''': <math>N = vN^{oS_2} \bmod oS_1</math>

Damit das klappt, sind die Exponenten so gewählt, dass sie zueinander invers sind (im echten RSA gilt <math>e \cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}</math>).

== Dein Mini-Beispiel ==
; Gegeben
* Nachricht <math>N</math>: ''B'' → <math>2</math>
* privater Schlüssel <math>pS = 5</math>
* öffentlicher Schlüssel (Teil 1) <math>oS_1 = 14</math>

; Verschlüsselung
<math>
vN = N^{pS} \bmod oS_1 = 2^{5} \bmod 14 = 32 \bmod 14 = 4
</math>
Damit ist die verschlüsselte Nachricht <math>vN = 4</math> (du deutest das als ''D'').

; Entschlüsselung (mit komplettem öffentlichen Schlüssel)
* <math>oS_1 = 14</math>
* <math>oS_2 = 11</math>

<math>
N = vN^{oS_2} \bmod oS_1 = 4^{11} \bmod 14 = 2 = B
</math>

; Warum kommt wieder <math>2</math> heraus?
Die Potenzen von <math>4</math> modulo <math>14</math> wiederholen sich periodisch:
<math>
\begin{aligned}
4^1 &\equiv 4 \ (\bmod\ 14)\\
4^2 &\equiv 16 \equiv 2 \ (\bmod\ 14)\\
4^3 &\equiv 8 \ (\bmod\ 14)\\
4^4 &\equiv 32 \equiv 4 \ (\bmod\ 14)
\end{aligned}
</math>
Das Muster <math>4,2,8,4,2,8,\dots</math> setzt sich fort. Für den Exponenten 11 landet man wieder bei 2.

== „Richtiges“ Mini-RSA – vollständig hergeleitet ==
Im echten RSA entstehen die Schlüssel so:

# Wähle zwei Primzahlen <math>p,q</math>.
# Berechne <math>n = p \cdot q</math> und <math>\varphi(n) = (p-1)(q-1)</math>.
# Wähle einen öffentlichen Exponenten <math>e</math> mit <math>\gcd(e,\varphi(n))=1</math>.
# Berechne den privaten Exponenten <math>d</math> als multiplikatives Inverses von <math>e</math> modulo <math>\varphi(n)</math>: <math>e\cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}</math>.
# Öffentlicher Schlüssel: <math>(n,e)</math>, privater Schlüssel: <math>d</math>.

; Mini-Beispiel
* Wähle <math>p=3,\; q=11</math>.
* <math>n=33</math>, <math>\varphi(n)=20</math>.
* Wähle <math>e=3</math>.
* Löse <math>3 \cdot d \equiv 1 \pmod{20}</math> → <math>d=7</math>.

; Schlüssel
* Öffentlicher Schlüssel: <math>(33,3)</math>
* Privater Schlüssel: <math>d=7</math>

; Verschlüsselung
<math>
C = N^{e} \bmod n = 2^{3} \bmod 33 = 8
</math>

; Entschlüsselung
<math>
N = C^{d} \bmod n = 8^{7} \bmod 33 = 2
</math>

== Verbindung zu deinem Beispiel ==
In deinem Beispiel sind die Rollen etwas vertauscht (Verschlüsselung mit privatem Schlüssel, Entschlüsselung mit öffentlichem). Mathematisch ist es dasselbe Prinzip:
<math>
\bigl(N^{pS} \bmod oS_1\bigr)^{oS_2} \bmod oS_1 = N
</math>

== Wichtige Hinweise ==
* Gezeigte Zahlen sind extrem klein → unsicher, nur Demonstration.
* Praxis: große Primzahlen (2048/3072 Bit), standardisierte Exponenten (meist <math>e=65537</math>), sichere Libraries.

== Kurzfazit ==
* Verschlüsseln/Signieren: Potenzieren modulo <math>n</math>.
* Entschlüsseln/Verifizieren: passender Gegen-Exponent.
* Bedingung: <math>e \cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}</math>.

RSA Prinzip - Versionsgeschichte

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